Hỏi Đáp

Toán 10 – Xét sự biến thiên của hàm số – O₂ Education

Sử dụng hàm được cho bởi công thức $ y = f (x) $, chúng ta có hai biến, $ x $ và $ y $. Nếu chúng thay đổi “cùng hướng” (tăng hoặc giảm cùng nhau) ta có một hàm số dương, nếu chúng thay đổi “theo hướng ngược lại” ta có một hàm số nghịch biến. Vì sự thay đổi của $ y $ phụ thuộc vào $ x $, chúng ta có thể chọn $ x $ từ nhỏ đến lớn để xem xét sự thay đổi của $ y $.

Xem thêm:

Bạn đang xem: Biến thiên của hàm số là gì

  • Tìm tập hợp các hàm
  • Xem xét tính chẵn lẻ của các hàm lớp 10

1. Xem xét các thay đổi chức năng

1.1. Các khái niệm về hiệp biến và hàm ngược

Đối với một hàm $ y = f (x) $ được xác định trên $ mathbb {k} $ (là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn).

  • Nếu: $ forall {{x} _ {1}}, {{x} _ {2}} in mathbb {k}, {{x} _ {1}} & lt; { {x} _ {2}} $ có $ f ({{x} _ {1}}) & lt; f ({{x} _ {2}}) $.
  • nếu $ forall {{x} _ {1}}, {{x} _ {2}} in mathbb {k}, {{x} _ {1}} & lt; {{x} _ {2}} $ rồi ở đó là $ f ({{x} _ {1}}) & gt; f ({{x)} _ {2}}) $.

Kiểm tra các thay đổi trong một hàm là để xem xét liệu hàm có phải là một hiệp biến trong tập hợp mà nó được xác định, một hàm nghịch đảo hay một hằng số trong một khoảng cụ thể (nửa khoảng hoặc từng đoạn).

hàm số đồng biến

Đồ thị của hàm số đồng biến

Xét theo hướng từ trái qua phải (tức là chiều tăng của đối số $x$) thì:

  • Đồ thị của hàm số đồng biến có hướng đi lên (tăng).
  • Đồ thị của hàm số nghịch biến có chiều hướng xuống (giảm).

Theo định nghĩa, chúng ta có một cách để xem xét hiệp phương sai, nghịch đảo của hàm $ y = f (x) $ trên $ mathbb {k} $.

1.2. Cách xem xét hiệp phương sai của một hàm

Phương pháp 1. Xét hiệp phương sai của hàm theo định nghĩa. Sử dụng giả định $ {{x} _ {1}}, {{x} _ {2}} in mathbb {k} $ bất kỳ $ {{x} _ {1}} & lt; {{x} _ { 2}} $, trực tiếp tính toán và so sánh $ f (x_1) $ và $ f (x_2) $.

Ví dụ 1. Hàm $ y = sqrt {1-2x} trên $ left (- infty, frac {1} {2} right] xét hiệp phương sai Tỷ lệ nghịch của $ .

Chúng tôi có, $ forall {{x} _ {1}}, {{x} _ {2}} in left (- infty, left. frac {1} {2} right ] right., {{x} _ {1}} & lt; {{x} _ {2}} $ then $$ 1-2 {{x} _ {1}} & gt; 1-2 {{x} _ {2}} geqslant 0 rightarrow sqrt {1-2 {{x} _ {1}}}> sqrt {1-2 {{x} _ {2}}} $$ hoặc nghịch đảo của $ left (- infty, frac {1} {2} right] $.

Phương pháp 2. Xét hiệp phương sai nghịch đảo của hàm ({{x} _ {1}})} {{{x} _ {2}} – {{x} _ {1 }}} $$ và $ {{x} _ {1}}, {{x)} _ {2}} In bất kỳ mathbb {k} $ và $ {{x} _ {1}} ne { {x} _ {2}} $.

  • Nếu $ t> 0 $ thì hàm là hiệp biến trên $ mathbb {k} $;
  • nếu $ t & lt; là hiệp biến 0 $ thì hàm trên $ mathbb {k} $ là hàm ngược.

Xem Thêm : Yeast là gì? Hướng dẫn sử dụng men nở (yeast)

Ví dụ 1. Khảo sát sự thay đổi trong hàm $ y = f (x) = x + 3 $.

Xem Thêm : Dây trung tính là gì? Tác dụng và cách phân biệt dây trung tính

Nguyên tắc.

  • Mã định nghĩa $ mathcal {d} = mathbb {r}. $
  • Đối với tất cả $ x_1, x_2 in mathbb {r} $ và $ x_1 ne x_2 $ Chúng tôi có: begin {align} t & amp; = frac {{f ({x_ 1}) – f ({x_ 2})}} {{{x_1} – {x_2}}} \ & amp; = frac {{({x_1} + 3) – ({x_2} + 3)}} {{{x_1} – {x_2}}} = 1> 0, forall x in mathbb {r} end {align}
  • Vì vậy, hàm là đồng biến trên $ mathbb {r} $.

Ví dụ 2. Kiểm tra các thay đổi trong hàm $ y = f (x) = x ^ 3 + 2x + 8. $

Xem Thêm : Dây trung tính là gì? Tác dụng và cách phân biệt dây trung tính

Nguyên tắc.

  • Mã định nghĩa $ mathcal {d} = mathbb {r}. $
  • Đối với tất cả $ x_1, x_2 in mathbb {r} $ và $ x_1 ne x_2 $ Chúng tôi có: begin {align} t & amp; = frac {{f ({x_ 1}) – f ({x_ 2})}} {{{x_1} – {x_2}}} \ & amp ; = frac {{(x_1 ^ 3 + 2 {x_1} + 8) – (x_2 ^ 3 + 2 {x_2} + 8)}} {{{x_1} – {x_2}}} \ & amp; = frac {{(x_1 ^ 3 – x_2 ^ 3) + (2 {x_1} – 2 {x_2})}} {{{x_1} – {x_2}}} \ & amp; = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_1x_2 + 2 & amp; = frac {1} {2} (x_1 + x_2) ^ 2 + frac {1} {2} (x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2) + 2> 0, forall x trong mathbb {r}. end {align}
  • Vì vậy, hàm là hiệp biến trên $ mathbb {r} $.

Ví dụ 3. Xét hàm $ y = dfrac {3x + 1} {x-2} $ trong khoảng $ left (- infty; , 2 right) $ và $ left (2; + infty right) $.

Xem xét tốc độ thay đổi begin {align} t & amp; = frac {y_1-y_2} {x_1-x_2} \ & amp; = frac { frac {3 {{x} _ {1}} + 1 } {{x} _ {1}} – 2} – frac {3 {{x} _ {2}} + 1} {{{x} _ {2}} – 2}} {{{x) } _ {1}} – {{x} _ {2}}} \ & amp; = frac { left (3+ frac {7} {{{x} _ {1}} – 2} right ) – left (3+ frac {7} {{{x} _ {2}} – 2} right)} {{{x} _ {1}} – {{x} _ {2}}} & amp; = – frac {7} { left ({{x} _ {1}} – 2 right) left ({{x} _ {2}} – 2 right)} end { căn chỉnh}

Suy ra với $ {{x} _ {1}}, {{x} _ {2}} in left (- infty; , 2 right) $ hoặc $ {{x} _ {1 }}, {{x} _ {2}} in left (2; + infty right) $ thì $ t & lt; 0 $ nên hàm nằm trong khoảng $ left (- infty; , 2 right) $, $ left (2; + infty right) $ là hàm ngược.

Hiệp phương sai và nghịch biến của một hàm số cũng có thể được xem xét gián tiếp thông qua hiệp phương sai nghịch đảo của một hàm số đã quen thuộc hoặc đã được xem xét trước đó.

Ví dụ, chúng ta có thể dễ dàng có các thuộc tính sau: tổng của hai hàm đồng biến (nghịch đảo) trên $ mathbb {k} $ là hàm đồng biến (nghịch đảo) của nó; tích của hai hàm đồng biến là một giá trị dương trên $ mathbb {k} $ là một hàm đồng biến …

Ví dụ 4. Kiểm tra sự thay đổi trong hàm $ y = f (x) = sqrt {{x ^ 2} + 2} $.

Xem Thêm : Dây trung tính là gì? Tác dụng và cách phân biệt dây trung tính

Nguyên tắc.

  • Mã định danh $ mathcal {d} = mathbb {r} $.
  • Với $ x_1, x_2 in mathcal {d} $ và $ x_1 ne x_2 $ chúng tôi có : begin {align} t & amp; = frac {{f ({x_ 1}) – f ({x_ 2})}} {{{x_1} – {x_2}}} \ & amp; = frac {{ sqrt {x_1 ^ 2 + 2} – sqrt {x_2 ^ 2 + 2}}} {{x_1} – {x_2}}} \ & amp; = frac {{(x_1 ^ 2 + 2 ) – (x_2 ^ 2 + 2)}} {{({x_1} – {x_2}) ( sqrt {x_1 ^ 2 + 2} + sqrt {x_2 ^ 2 + 2})}} \ & amp; = frac {{{x_1} + {x_2}}} {{ sqrt {x_1 ^ 2 + 2} + sqrt {x_2 ^ 2 + 2}}}. end {align}
  • thì:
    • Nếu $ x_1, x_2> $ 0 thì các hàm $ t> 0 $ etc đồng biến trên $ (0; + infty) $.
    • Nếu $ x_1, x_2 & lt; 0 $ thì $ t & lt; 0 $ suy ra một hàm ngược trên $ (- infty; 0) $.

    Ví dụ 5. Xem hàm function $ y = {{x} ^ {3}} + sqrt {2x + 3} $ để biết những thay đổi trong tập định nghĩa của nó. p>

    hướng dẫn. Chúng ta có một hàm đã cho có tập hợp được định nghĩa là $ mathcal {d} = left [- frac {3} {2}; + infty right) $.

    Các hàm $ y = {{x} ^ {3}} $ và $ y = sqrt {2x + 3} $ là các hàm đồng biến trên $ mathcal {d} $, vì vậy hàm $ y = {{ x} ^ {3}} + sqrt {2x + 3} $ là một hàm đồng biến trên $ mathcal {d} $.

    Ví dụ 6. Kiểm tra các thay đổi trong một hàm:

    1. $ f (x) = {{x} ^ {3}} sqrt {2x-3} $;
    2. $ g (x) = {{x} ^ {3 }} sqrt {2x + 3} $.

    2. Điều tra một ví dụ về thay đổi chức năng lớp 10

    Phát hành 1. Xem xét sự biến đổi của hàm sau trong khoảng thời gian $ (1; + infty) $

    • $ y = frac {3} {x-1} $
    • $ y = x + frac {1} {x} $

    Bài tập 2. Xem xét sự biến thiên của hàm số sau trên tập xác định của nó:

    • $ y = sqrt {3x-1} + sqrt {x} $
    • $ y = x ^ 3 + sqrt {x} $

    bài 3. Xem xét hiệp phương sai và nghịch biến của hàm sau trong khoảng thời gian được chỉ định

    • $ f (x) = – 2x ^ 2-7 $ trong phạm vi $ (- 4.0) $ và trong phạm vi $ (3,10) $;
    • $ f (x) = frac {x} {x-7} $ trên khoảng thời gian $ (- infty, 7) $ và $ (7, + infty) $;
    • $ y = -3x + 2 $ trên $ mathbb {r} $;
    • $ y = x ^ 2 + 10x + 9 $ trong phạm vi $ (- 5, + infty) $;
    • $ y = – frac {1} {x + 1} $ nằm trong khoảng $ (- 3, -2) $ và $ (2,3) $.

    Bài 4 Xét đồng phương sai hoặc nghịch biến của một hàm số trong một khoảng cho trước:

    • $ y = sqrt {x} $ trên $ left (0; + infty right) $;
    • $ y = frac {1} {x + 2} $ up $ left (- infty; -2 right) $;
    • $ y = {{x} ^ {2}} – 3x $ lên $ left (2; + infty phải) $;
    • $ y = {{x} ^ {3}} + 2x-1 $ trên $ left (- infty; + infty right) $;
    • $ y = {{x} ^ {3}} – 3x $ trên $ left (1; + infty right) $;
    • $ y = sqrt {{{x} ^ {2}} – 1} + x $ trên $ left (1; + infty right) $.

    Bài 5. Xem xét sự biến thiên của hàm $ y = frac {x} {x-2} $ trên tập xác định của nó.

    Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm $ y = big | x + | 2x-1 | big | $ trên tập xác định của nó.

    Nguồn: https://thietkequan.com
    Danh mục: Hỏi Đáp

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button